Cho 3 số dương x; y; z thoả mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn x^2>= y^2 +z^2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 1/x^2 .(y^2 +2^2 )+x^2.(1/y^2 + 1/2^2 ) +2024
Cho a, y, z là các số thực dương thoả mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\le1;x+\dfrac{2}{z}\le3\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=y^2+2z^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\le1\Rightarrow\dfrac{2}{y}\le1-\dfrac{1}{x}\Rightarrow y\ge\dfrac{2x}{x-1}=2+\dfrac{2}{x-1}\)
\(x+\dfrac{2}{z}\le3\Rightarrow x< 3;\dfrac{2}{z}\le3-x\Rightarrow z\ge\dfrac{2}{3-x}\Rightarrow y+z\ge2+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2}{3-x}\)
Lúc này ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Ta có:
\(6^2\le\left(y+z\right)^2=\left(\sqrt{2}\dfrac{y}{\sqrt{2}}Z\right)^2\le3\left(\dfrac{y^2}{2}+z^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(y^2+2z^2\right)\)
\(\Rightarrow P\ge24\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y=4,z=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhật của P là 24
Cho các số x,y,z dương thoả mãn x^2 + y^2 + z^2 =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= 1/16x^2 + 1/4y^2 + 1/z^2
Giúp vớiiiiiiiiiiiiiiiiiii
\(M=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(=\frac{1}{16x^2}+\frac{4}{16y^2}+\frac{16}{16z^2}\)
\(=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}+\frac{16}{z^2}\right)\)
\(\ge\frac{1}{16}.\frac{\left(1+2+4\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{49}{16}\)(Svac - xơ)
Vậy \(M_{min}=\frac{49}{16}\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}=\frac{4}{y^2}=\frac{16}{z^2}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{21}}\\y=\frac{2}{\sqrt{21}}\\z=\frac{4}{\sqrt{21}}\end{cases}}\)
Cho sửa chỗ dấu "="
\("="\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}=\frac{2}{y^2}=\frac{4}{z^2}=7\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{1}{7}}\\y=\sqrt{\frac{2}{7}}\\z=\frac{2}{\sqrt{7}}\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-\sqrt{\frac{1}{7}}\\y=-\sqrt{\frac{2}{7}}\\z=-\frac{2}{\sqrt{7}}\end{cases}}\)
๖²⁴ʱČøøℓ ɮøү ²к⁷༉ Sửa dấu "=" sai r kìa man.x,y dương nên đâu cần đến âm đâu ???
Cho các số thực dương x, y thoả mãn 2 x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất P min của biểu thức P = 2 x + 1 4 y .
A. P min không tồn tại
B. P min = 65 4
C. P min = 5
D. P min = 34 5
Đáp án C
Ta có: 2 x + 1 4 y 2 x + y ≥ 2 + 1 2 2 (Bất đẳng thức Bunhia Scopky).
(ngoài ra các em có thể thế và xét hàm).
Do đó P ≥ 5.
Cho các số thực dương x, y thoả mãn 2 x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất P min của biểu thức P = 2 x + 1 4 y
A. P min không tồn tạ
B. P min = 65 4
C. P min = 5
D. P min = 34 5
Đáp án C
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki,
ta có 2 x + 1 4 y 2 x + y ≥ 2 + 1 2 2 ⇒ P ≥ 5
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn \(x+y+z\ge3\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x^3+y^3+z^3\).
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x^3+1+1\geq 3x$
$y^3+1+1\geq 3y$
$z^3+1+1\geq 3z$
$\Rightarrow x^3+y^3+z^3+6\geq 3(x+y+z)\geq 3.3=9$
$\Rightarrow A=x^3+y^3+z^3\geq 3$
Vậy $A_{\min}=3$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=1$
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn \(x+y+z\ge3\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x^3+y^3+z^3\).
\(A=\left(x^3+1+1\right)+\left(y^3+1+1\right)+\left(z^3+1+1\right)-6\)
\(A\ge3\sqrt[3]{x^3}+3\sqrt[3]{y^3}+3\sqrt[3]{z^3}-6=3\left(x+y+z\right)-6\ge3.3-6=3\)
\(A_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn \(x\ge y\ge z\) và \(x+y+z=3\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y\)
Khi thì B = 5 do đó nếu ta chứng minh được B > 5 thì đây cũng chính là giá trị nhỏ nhất của B.
Viết B lại dưới dạng thuần nhất ta được : \(B=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{9y}{x+y+z}\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \(B\ge\frac{\left(x+z+3y\right)^2}{zx+yz+y\left(x+y+z\right)}\)
Cần chứng minh \(\left(x+z+3y\right)^2\ge5\left[zx+yz+y\left(x+y+z\right)\right]\) (*)
Đã có x > y > z nên tồn tại 2 số thực m,n không âm sao cho m = a + z ; n = b + z
Thay m,n vào (*) ta được kết quả thu gọn là a2 + ab + 4b2 + 5bz > 0
Do đó P = 5 đạt GTNN
Ta có : \(x\ge y\ge z\)\(\Rightarrow\frac{x}{z}\ge\frac{x}{y}\Rightarrow B\ge\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+3y=\frac{3-y}{y}+3y=\frac{3}{y}+3y-1\ge2.\sqrt{\frac{3}{y}.3y}-1=5\)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y=5\\x+y+z=3\\\frac{3}{y}=3y\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy Min B = 5 <=> x = y = z = 1.
Bạn có thể viết công thức của bất đẳng thức Cauchy đc k
cho các số dương x, y, z thoả mãn x+y+z nhỏ hơn hoặc bằng 3 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(A=\sqrt{1+X^2}+\sqrt{1+Y^2}+\sqrt{1+Z^2}+2\left(\sqrt{X}+\sqrt{Y}+\sqrt{Z}\right)\)
Huhu
tui
moi
hoc
lop
5
chua
bit
lam
lop
9
kho
qua
hihi
HONG BIET LAM
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?